逻辑语言看起来好像学会就能增强逻辑，但事实是逻辑语言大部分为计算机语言和数学语言服务，若将太多生活常识 尝试与逻辑语言组合在一起，则会一团糟。前几天有人尝试将己所不欲勿施于人，翻译成逻辑语言，并归纳出了施于人即己所欲，我只能感受到不对，但是我证明不出来
注意本文由本人从英文课程中 用本人所学做翻译，请以实际翻译为主，或等我学完 离散数学的时候再来更改orz
首先介绍几个基本的逻辑
AND合取：对于事件A,B来说 若A AND B为真， 那么事件A和事件B同时为真。- 举个例子，我有女朋友，我在打游戏。这句话如果是真的，那我既有女朋友又能打游戏。如果是假的，要么我没有女朋友要么我没在打游戏，甚至我又没有女朋友 又没有打游戏。
- Truth table:
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
OR析取:对于事件A,B来说 若A OR B为真, 那么事件A或事件B为真。- 举个例子，我有女朋友或者我在打游戏。这句话如果是真的，那我既有可能 有女朋友 又有能 在打游戏。如果是假的，我没有女朋友且我没在打游戏。
- Truth Table:
| A | B | A OR B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
IMPLIES蕴含: 对于事件A,B来说，如果A IMLIES B为真，举个例子 "如果今天下雨，那么我带伞" 具体分析如下：- A 为真 且 B 为真， A为真指的是今天下雨了，B为真指的是我带伞了，所以这整句为真
- A 为假指的是今天不下雨，那么在这种情况下 我们不知道真实状态，有可能大晴天，也有可能为其他情况，在这种时候，B是否为真已经不在重要
- 可能还是难以理解，那么试着换成 “如果我能学懂逻辑语言，猪能在天上飞” 呢？事实摆在这里，我学不会逻辑语言，这时候猪能不能飞已经不重要了
- 而数学逻辑上，将这种无理的情况归结为真
- Truth Table:
| A | B | A IMPLIES B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
IFF等价:IFF == If and only if对于事件A,B来说，A IFF B == A IMPLIES B AND B IMPLIES A, 若A IFF B为真, 那么事件A,B 同为真，或同为假- Truth Table:
| A | B | A IMPLIES B | B IMPLIES A | A IMPLIES B AND B IMPLIES A | A IFF B |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
NOT否定: 对于事件A,NOT A为真, 那么事件A为假- Truth Table:
| A | NOT A |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
逻辑门用到的逻辑语言
XOR: 对于事件A,B来说，如果A XOR B为真, 只有A,B其中一个为真- Truth Table:
| A | B | A XOR B |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
XAND: 等价于IFF
命题公式(Propositional Formula)
说白了，命题公式就是由逻辑语言组成的公式，在上面已经列举过些许
再多举几个例子：
A AND B AND NOT C OR D IMPLIES E IFF F是命题公式A AND AND B NOT C则不是命题公式， 双AND在这里并没有任何意义
在命题公式中运算顺序如下，NOT AND OR IMPLIES IFF, 如果有括号，括号内的运算优先所以一定记得加括号呜呜呜
Valid/Tautology 重言式
当一个命题公式的所有值都为真时，称其为重言式，例如：
P OR NOT P永远为真P IFF P永远为真
Unsatisfiable/Contradition 矛盾式
当一个命题公式的所有值都为假时，称其为矛盾式，例如：
P AND NOT P永远为假P IFF NOT P永远为假
Satisfiable 可满足式
当一个命题公式至少有一个值为真时，成为可满足式，换句话说，若个命题公式不为矛盾式，其一定是可满足式
例题
判断下列命题公式
P IMPLIES Q IMPLIES PP IMPLIES (Q IMPLIES P)
Normal Form 范式
私以为有关于 文字 Literal 的定义没有什么屁用
- 命题变项以及其否定式称为文字
disjunctive form 析取式:
- 由
OR将有限个文字连接起来
conjunctive form 合取式：
- 由
AND将有限个文字连接起来
那么接下来就是令人头大的范式了
析取范式 Disjunctive Normal Form:
- 由有限个简单合取式构成的析取式为析取范式
- 举个例子 `(A AND B) OR (C AND D)
合取范式 Conjunctive Normal Form:
-
由有限个简单析取式构成的合取式为合取范式
- 举个例子 `(A OR B) AND (C AND D)
-
要注意的是，在范式中不应该出现
IMPLIESIFF -
对于给定的命题公式，合取范式/析取范式的
介绍几个定理，其实不介绍也罢因为我感觉都是废话，但是写证明的时候就是要让用定理
-
一个析取范式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。
- 举个例子
A OR B OR NOT A
- 举个例子
-
一个合取范式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。
- 举个栗子
A AND B OR NOT A
- 举个栗子
-
任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式
例题
按照下列Truth Table写出有关M的析取范式以及合取范式
| P | Q | R | M |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
| F | F | F | T |
谓词逻辑公式 Predicate Logic Formulas
- 由谓词组成的表达式
- 举个例子
\forall a\in \Reals \exists b\in \N, b > a - 在上述例子，用谓词声明过的变量称其为量化 Quantified的
- 如果一个变量未被量化，称其为 Free/Unquantified 未被量化的
- 若一个谓词逻辑公式中变量全被量化，且由对应定义域以及范围的函数组成(其定义域中没有空集)称之为 interpretation
这个俺不知道咋翻译所以就这样吧 - 将一个未被量化的变量转换为定义域中元素的过程成为 valuation
这个我也不知道咋翻译
前束范式 Prenex Normal Form
- 当谓词逻辑公式以
Q_1x_1\in D_1 Q_2x_2\in D_2 Q_3x_3\in D_1 ... Q_kx_k\in D_k E(x_1,...,x_k)表达时成为前束范式 - 其中
Q_1为\forall or \exists E(x_1,...,x_k)$$为没有谓词的命题公式
Solution
命题公式
- 取
P = T, Q = T的得到 T,P = F, Q = F的得到 T，所以该命题公式既不是重言式亦不是矛盾式，是为可满足式 - 按照顺序先考虑
Q IMPLIES P, 设其为A， 当P为 F的时候，A的取值无关紧要，结果都为 T. 当P为 T时，Q IMPLIES P == $Q IMPLIES T$$永远为T， 所以该命题公式为重言式
范式
- 要得到M，我们可以写出以下命题公式
P AND Q AND (NOT R)P AND (NOT Q) AND R(NOT P) AND Q AND R将其用析取式连接起来则为(P AND Q AND (NOT R)) OR (P AND (NOT Q) AND R) OR ((NOT P) AND Q AND R), 当然这种式子可以简化，但是我是懒狗
其合取范式为(P OR Q) AND (P OR R ) AND (Q OR R) AND ((NOT P) OR (NOT Q) OR (NOT R))推导公式有些繁琐，等俺有空再码吧
基本等价关系
G AND T == GG OR F == GG OR (G AND H) == GG AND (G OR H) == GG IMPLIES H == NOT G OR H(G IMPLIES H) AND (G IMPLIES NOT H) == NOT G